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Nombres entiers et rationnels

Cette partie d’arithmétique permet une première synthèse sur les nombres, intéressante tant du point de vue de l’histoire des mathématiques que pour la culture générale des élèves.

Diviseur commun à deux entiers

Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux.

Depuis la classe de cinquième, les élèves ont pris l’habitude de simplifier des écritures fractionnaires : la factorisation du numérateur et du dénominateur se fait grâce aux critères de divisibilité et à la pratique du calcul mental. Reste à savoir si la fraction obtenue est irréductible ou non. On remarque que la somme et la différence de deux multiples d’un nombre entier sont eux-même multiples de cet entier. On construit alors un algorithme, celui d’Euclide ou un autre, qui, donnant le PGCD de deux nombres entier, permet de répondre à la question dans tous les cas. Les activités proposées ne nécessitent donc pas le recours aux nombres premiers. Les tableurs et les logiciels de calcul formel peuvent, sur ce sujet, être exploités avec profit.

Fractions irréductibles

Savoir qu’une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.

A côté des nombres rationnels, on rencontre au collège des nombres irrationnels comme p et racine de 2.

On pourra éventuellement démontrer l’irrationnalité de racine de 2. Une telle étude peut être mise à profit pour bien distinguer le calcul exacte et le calcul approché